《AI和人》第4节:认知边界上的考量

https://zh.wikipedia.org/wiki/超限数

人工智能是否会取代人类这个问题,实际上涉及对于认知的无穷边界的考量:图灵机能表达的带有人工智能模型的可计算数(程序)无穷大,人的思考过程也无穷大,哪个无穷大更大?面对这个问题,大部分人的反应:“两个无穷大还有大小?”所以,这里有必要重新理解一下数。数有两个让人最头疼的问题:无穷问题和无理问题。据说知名的数学家、集合论的创始人康托尔(Cantor)就因为沉溺于数的无穷问题而得了躁狂型抑郁症。作者无意将这种痛苦加载在普通人头上,但是对于思考AI是否要取代人的读者,这个是绕不过去的坎。

自然数集、有理数集合和无理数集合在有限情况下非常容易理解,但是在无限的情况下很多属性会发生变化。 我们看下面两个集合(N为自然数):

  • 自然数集合A {1,2,3,4,…,2N}
  • 偶数集合B {2,4,,…, 2N}

在N是个有限的数下,集合A的元素的元素数(叫做基)是集合B的基的两倍。但是当N无穷大的时候,两个集合的势(无限集合的基)就相等了。为什么呢?偶数集拿出一个2,自然数集合拿出1,偶数集拿出4,自然数集拿出2,这样无穷下去。可以用无穷自然数集1对1数的无穷集合叫做“可数”。一个无穷集合如果可数,那么它们的基就是和自然数集A相等的。读者可以尝试证明一下无穷有理数集合也是可数的,只要把集合元素顺序的写法写得可数。具体做法就是把分子分母之和等于1,2,3,4的自然数一一列举如下:

  • 有理数集合C {1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1…}

读者可能兴致勃勃地把这个可数数的证明推广到实数集,但是康托儿用对角论证法证明了实数集合是不可数的。因为康托尔的证明激发了图灵只讨论[0,1]区间的二进制形式的数,而使用二进制对实际计算机的发明产生极大的帮助。这里简单介绍一下这个证明方法,具体证明方法可以参考维基百科1。假设我们数完了所有的[0,1]之间的实数r1 , r2 ,举个”象征性”的排列例子如下(来自维基百科):

r1 = 0 . 5 1 0 5 1 1 0 …

r2 = 0 . 4 1 3 2 0 4 3 …

r3 = 0 . 8 2 4 5 0 2 6 …

r4 = 0 . 2 3 3 0 1 2 6 …

r5 = 0 . 4 1 0 7 2 4 6 …

r6 = 0 . 9 9 3 7 8 3 8 …

r7 = 0 . 0 1 0 5 1 3 5

记得我们现在把所有无理数数完了。我们创造一个新的超越数2,它的第k位取自于上面数字rk的小数点后的第k个位并加1,如果遇到9变成0。所以这个新数就是0.6251346…它和上述的数都不一样,所以它不在这个可数数列表,因此实数集是不可数的。这个证明带来另外一个非常有意思的结论:同样是无穷,实数集合的无穷要比自然数集合的无穷要更大。如果把自然数集合的势记为aleph-0(康托尔把它叫做超限数并用俄文字母标记为  ),康托尔想去计算实数集的势,为此他引入了[0,1]区间的二进制形式的数和集合论。他尝试用小数点后无限位二进制数的0和1的交替的记法去对应实数里面的元素。为帮助读者理解,列举几个数如下:

0.0000000…

0.1000000…

0.0100000…

0.1100000…

0.0010000…

0.1010000…

0.0110000…

0.1110000…

如果我们把1当做✓一样的标记,学过子集的读者肯定觉得这个标记和列举含3个元素{0, 1,2}集合的所有子集的记法很相似:

含元素0

含元素1

含元素2

对应子集

{}

✓(1)

{0}

✓(1)

{1}

✓(1)

✓(1)

{0,1}

✓(1)

{2}

✓(1)

✓(1)

{0,2}

✓(1)

✓(1)

{1,2}

✓(1)

✓(1)

✓(1)

{0,1,2}

将这个二进制小数列表无穷列举下去,那么对应的子集表也可以无穷列举下去3。这些二进制形式的小数对应了所有[0,1]区间的实数4,而表格第五列中子集的列表也等同于无穷自然集的子集。因为一个含有N个元素(基为N)的集合的子集数目为,无穷自然数子集的数目就是 ,这个数也就是实数集合的势。康托尔猜测 就是下一个超限数aleph1(  ),中间不存在其它超限数,也叫连续统假设。这是希尔伯特提出23个问题中的第一个问题5

因为康托尔的工作,我们知道了实数集与可数数集同样是无穷大,但是实数集要更大。图灵发明了图灵机和定义在其上的可计算数,所以图灵自然要考虑:“可计算数对应了可数数还是整个实数集?”很遗憾的是,图灵证明了可计算数虽然包含了无理数中的代数数(例如 这样的代数方程的解)和部分超越数(例如 π 和 e ),但是它是可数的。可数数的势aleph0(  )远小于实数集合的势  而世界万物都是数,而且大部分数都是实数,实数中的大部分超越数都无法用图灵机表示。这意味着什么?第一个选择是我们拒绝承认不可计算的实数的存在,这就等同于我们构造了不存在的数;第二个选择是我们承认它们的存在,图灵机无法表达一个随机生成的无理数。那么人脑是否有个思考过程能否对应一个无限、无理的数?而图灵和邱奇恰恰就是这么认为——人脑也不行,这就是他们提出了的邱奇图灵论题。这个论题可以简单地表述为:“凡是人类能够执行的算法,图灵机也可以。”6用其等价的逆反命题来说是:“如果算法过程是图灵机不能解的,人类也不能解。”到这里,读者可能这里有以清晰地知道,这个是论题,它并不能被证明。人工智能是否能够取代人,本质上也依赖于这个论题是否正确。在作者眼里,这个论题就像几何的五个公理或者物理学里面的能量守恒定律一样,是我们公理化的认知边界。

到这里,读者已经看到图灵机上能表达的可计算数是无穷的,但是有个更大的实数无穷是图灵机无法表达。这两个极限的差别表现出图灵机的解决问题的范畴是有局限的。举个例子来说,我们不能发明一个程序检查另外一个程序的错误7。一个错误的程序会使图灵机就会进入失控状态,计算过程会进入到一个表格里面不存在的状态(m-config)。回到希尔伯特可判定性的讨论,图灵试图构造一个图灵机,从希尔伯特的《数学原理》中的几个公理和规则出发,让图灵机列举出所有可证明的公式。但是图灵证明了这样的图灵机不存在。根据邱奇图灵论题,人类数学工作者也找不到一个思考过程判断一个公式的可证明性。

图灵接下来讨论了一系列人和机器智能的问题。在1950年的Mind杂志上,图灵就人工智能这个话题发表了另外一篇论文“Computing Machinery and Intelligence8。在论文中,他提出了“机器能够思考吗?”这个问题。他认为思考和机器(读者可以认为AI)的定义过于模糊,为此他给出了知名的图灵测试来回答这个问题。在图灵测试中,被测试者(人)在一个黑暗的屋子里面与一台机器和一个人进行对话(那个年代以文本方式,现在则可以升级到语音方式),若被测试者无法区分对话的是人还是机器,则可以称机器通过了图灵测试。这也是电影《机械姬》的一个故事情节基础9

我们如何看待邱奇图灵论题决定了我们怎么看待人和AI之间的关系。为帮助读者理解邱奇图灵论题,作者这里尝试用通俗易懂的语言来表述。图灵机在某个状态下观察一个符号,然后状态切换到下一个状态,这个行为和我们人类数学工作者几乎一样。差别在于,邱奇图灵认为机器的状态是有限的,类似于我们构建的表1-1的行状态是有限的10。图灵认为,如果人脑允许有无限的状态,必然因为有些状态无限接近而造成混乱。但是作者认为“人的思想可以支持一个无穷状态”,因为我们对人的意识理解得并不清楚,证明数学不完备性的数学家哥德尔也表示了类似的观点11。不管如何,机器智能或者人工智能的产生,极大地解放了人类在可计算数范围内的求解问题速度。机器智能的诞生似乎加速了人类对于数字世界中未知领域的探索。只是,我们对于新生事物的直觉反应总是恐惧,对机器智能的兴起也一样的反应。图灵认为人类在上个世纪末不再会抵触和反对机器思考。但是到了今天,我们还是因为不了解或无法掌控机器智能而产生恐惧或不安,过度的恐惧和不安又有可能限制我们充分利用机器智能的长处,进而错过对于机器智能以外的世界的探索。

我们今天感受到的数字世界,存在一定的公理和论题上的边界。在这个边界里面也有黑洞,原因是不完备性;我们也没有一条快速路径来鉴别黑洞,是因为不可判定性。但是如果你和作者一样认为人的意识格局比图灵机格局具有无限性,那么应该持续地去拓展这个边界。在这个边界拓展或者重构的时候有些黑洞或许会消失,或许可以找到一条路径鉴别黑洞。就像希尔伯特说的:我们必须知道;我们必将知道。


 

  1. 完整证明方法参考https://zh.wikipedia.org/zh-cn/对角论证法
  2. 无理数分为代数无理数和超越数。超越数的代表是e和π。
  3. 注意这是无穷环境, 这个例子形式只能帮助逻辑上推理而不是准确的表述形式
  4. 如果考虑整体实数,负数可以通过绝对值对应到正数,大于1的正数可以通过倒数对应到[0,1]。
  5. 由于不完备性的影响,已经在数学上证实了该假设不能被证明为真或假。
  6. 参考https://zh.wikipedia.org/wiki/邱奇-图灵论题
  7. 学术语言说是不能发明一个程序检查一个程序的停机问题
  8. https://en.wikipedia.org/wiki/Computing_Machinery_and_Intelligence
  9. 电影《机械姬》认为即使被测试者发现对方是机器也无法阻止个人的情感。
  10. 注意这里说的是行数,就好像程序的指令数。指令可以跳转产生循环,但是指令数目是有限的。
  11. Oron Shagrir,Gödel on Turing on Computability

 

《AI和人》系列快速链接

  1. 第1节:经验与逻辑
  2. 第2节:公理化的逻辑系统
  3. 第3节:图灵机和可计算数
  4. 第4节:认知边界上的考量

作者介绍

冯雷(Ray Feng)是Pivotal中国公司MD兼研发中心总经理。Pivotal中国成立至今,冯雷主持了近十亿人民币投资的中国运营和研发体系。作为Pivotal全球产品关键领导人,冯雷为Pivotal公司的数字化理念建立及其对应的Cloud Foundry和Greenplum产品提供战略输入。冯雷于2010年从美国硅谷归国,在美国500强公司EMC旗下组建了Pivotal中国。在归国之前,冯雷居住在美国加州硅谷,在500强企业甲骨文(Oracle)总部从事云计算产品研发。作为云计算最早一批从业人员,冯雷帮助甲骨文云计算资源调度领域成为意见领袖。学术方面,冯雷以浙江省队物理奥林匹克银牌进入北京大学。冯雷在北大实验班(现在的元培项目)接受计算机科学和数学在内的基础学科熏陶,并获得物理学和经济学双学士。冯雷研究生就读于美国匹兹堡市的卡内基梅隆大学并获得硕士学位,在校期间在机器人学院(Robostics Institue)从事教育机器人项目助研。冯雷持有两项美国云计算专利,并著有云计算、大数据和AI的三部曲著作.

 

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